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[原创] 乒乓球拍击球“瞬间”的简化模型分析(一)

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发表于 2018-1-12 21:23:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
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乒乓球拍击球“瞬间”的简化模型分析(一)

-------- 兼谈薄摩擦 厚摩擦

    一般而言,乒乓球在空气中的平动可简化为一个质点运动,在空气中的转动可简化为一个刚体球运动,球与球台(或球拍)的碰撞往往简化为完全或不完全弹性碰撞,球与拍的摩擦作用可简化为一个刚体球和一个弹性体平面的作用。

    乒乓球拍击球“瞬间”是球与拍的相互作用过程,是乒乓球运动最复杂、最重要的一个过程。笔者一直想试着慢慢理清这个瞬间的头绪,与球友同道一起讨论其中某些十分有趣的东西。

    这个“瞬间”是指乒乓球拍击球时,每次球与球拍(包括胶皮、海绵、底板)表面发生的相互作用。这个相互作用有各种各样的名称。比如击球、击打、碰撞、斜撞、摩擦、打摩、撞摩、持球、触球、震荡等等。为方便交流,本文暂将这个瞬间相互作用叫做摩擦。

    1  摩擦的耗时
    乒乓球拍击球“瞬间”耗时极短。根据现有文献数据,大多耗时测定值与估算值都集中在千分之一秒(即1毫秒)左右(个别的有7毫秒的说法)。

    2  摩擦的空间尺寸(参见图1)
    假设打透底板,球陷入套胶的深度是2毫米,即胶皮海绵总厚度的一半。(因为球比胶皮硬,假设球不变形;因为底板比球硬,假设底板也不变形)。薄摩擦的深度估计在1毫米之内。
    再来看看球在拍面上的摩擦长度。假设球速与拍速都是10米每秒,相向而行,相对速度为20米每秒。以1毫秒计算,球在拍面上的摩擦长度极大值为20毫米。实际摩擦长度还要短很多,主要是因为摩擦过程中球速会急剧降低至零,再重新被加速,反方向飞出。另外,球速和拍速两个速度夹角也不会是180度,而是更小。这里还忽略了更复杂的情况,即球在胶皮表面的摩擦到底是滑动还是滚动,或是半滚半滑?也忽略了AB、BC线条到底是直线还是弧线?
    球陷入拍面的宽度可以根据深度值相应估算。
    综上述,乒乓球与球拍摩擦的典型空间尺寸,大致估算为深度*宽度*长度=1*12*13毫米。
入射角,摩擦
图1 摩擦的三点二期

    3  摩擦的三点两期(参见图1)
    不管厚薄,任何一次摩擦都一定会包含三个关键点:触拍点A(红)、最深点B(绿)、脱拍点C(蓝)(三个点分别代表一次摩擦的开始A、转折B、结束C)。这三个点很自然地将摩擦全过程划分为先后两个分期,即套胶压缩期(变形期)和套胶反弹期(恢复期)。
    每次球拍击球,二者都在做相对运动,球从对方飞过来,拍子迎着球挥过去。当球一接触到球拍(一般是套胶表面),这个点就是摩擦开始点A,可叫做“触拍点”。
    紧接着套胶表面逐渐被来球所压缩变形,球越来越深地陷入套胶,一般还会沿着套胶表面运动,直至“最深点”B。此时套胶被压缩到最大变形,弹性势能最大,两者接触面积最大。该接触面积可根据40毫米直径球冠表面积估算。最深点也是两个期的分界点,既是套胶压缩期的结束点,又是套胶反弹期的开始点。也可叫做转折点B。此后,套胶的反弹开始了。
紧接着套胶反弹,球被逐渐弹起,越来越浅,球与套胶接触面积越来越小,直至最后一个小点C。再后,球与拍脱离。此最后接触点为“脱拍点”。到此点C,摩擦全过程结束,套胶反弹期当然也同时结束。

    4  摩擦三角形ABC
    如上述,图1中由ABC三点所包围的三角形区域其实就是摩擦区中轴线纵剖面图。三个点分别代表一次摩擦的开始A、转折B、结束C。其中AC为三角形的长度,表示球在拍面上摩擦的距离;点B到线段AC的距离BB’为三角形的深度,B是球体在拍面摩擦的最深处。摩擦区的宽度与深度大致正相关(即乒乓球球缺高度与底面直径的关系)。
ABC三个点既可以看成是时间点,也可以是空间点。从时间看,A到C为1毫秒,A到B假设为0.5毫秒,B到C当然也为0.5毫秒。图1中的ABC三点是球的最深点在球拍套胶上的位置点。

    5   摩擦区的立体形状
    摩擦区是指摩擦期间球与拍的接触区域。摩擦区以外,球与拍没有接触,谈不上摩擦。静态时的摩擦区就是一个球冠面(参见图2)。
入射角,摩擦
图2 静态摩擦区 灰色球冠表面

    2右边是球冠表面积公式的定积分推导过程。 积分下限为θ,上限π/2 弧度(90度)

    由于球与拍摩擦时处于复杂的相对运动之中,摩擦区的动态立体形状为乒乓球冠外侧面在球拍胶皮上滚动或滑动留下的横截面为圆弧形的沟状磨痕。该摩痕由浅入深再到浅,宽度由窄到宽再到窄。由于胶皮海绵的弹性恢复较快,转瞬即逝,此磨痕不易观察到,只能根据理论分析、推理想象,还原出来。该磨痕外观类似四周向上弯曲的椭球弧面,假定典型三维尺寸约为1×12×13mm。摩擦区的俯视图为近似椭圆形,中轴纵剖面为三角形ABC(参见图1、图3),横剖面为深浅不一的乒乓球圆弧形平面(参见图3)。有时新球拍击球后在胶皮表面会留下近似椭圆形的斑点。这就是摩擦区磨痕平复后的遗迹。
入射角,摩擦
图3 摩擦区立体形状的三视图

    有几个角度和摩擦过程密切相关:摩擦的入射角、出射角和挥拍摩擦角(参见图4)。
    乒乓球摩擦的入射角、出射角一般定义为球入射线路或出射线路与拍面的夹角。这样定义较为直观清楚。但应注意与物理学定义相区别:光学入(出)射角是指入(出)射光线与入(出)射表面法线的夹角。挥拍摩擦角是指挥拍线路和拍面的夹角。
注意这三个角度都是直线与球拍平面的夹角。其实一条直线与一个平面有无数个夹角,一般是指其中最小的那个夹角(即直线与其在平面上正投影线之间的夹角)。
入射角,摩擦

图4 入射角 出射角 挥拍摩擦角

    图4中,红球是来球,蓝球是出球。角1为真实入射角,角2为出射角。竖直向上的箭头是挥拍方向,与拍面平行,所以挥拍摩擦角为零度 。如前所述,图3中ABC三点是球的最深点在球拍套胶中的位置点,而不是绝对空间位置点。

    6 摩擦的入射角
    摩擦前来球线路对拍面有一个入射角,初看好像很容易理解。其实,对入射角存在两种定义的方法,差别很大。一种方法是假设球或球拍两者有一个是静止的,另一种方法是认定两者同时都在做相应的运动。
    比如对方水平来球,我方横立拍型向正上方摩擦。球速与拍速两个方向互相正交。有人把这个90度定义为入射角。其实这个直角根本不是真正的入射角。真正的入射角是乒乓球实际射向触拍点的相对运动方向和球拍表面的夹角。

    下面我们代入数据,估算一下这个真正的入射角。假设来球是一个慢球,水平球速1.5米;接球者向上大力挥拍拉球,拍速15米。两者是1:10的关系。这样拉出来的球当然是一个薄摩擦,但是入射角就是表面看到的90度吗?显然不是。

    假设时间点为球触拍前的最后1毫秒,请参看图2。球水平向右飞行1.5mm垂直撞向套胶表面。就在同时,球拍也向上挥动了15mm,即球沿拍面向下相对位移15mm。该角度的正切值tan =1.5/15=0.1。相应角度为5.7度!(参见图5)

    也就是说,真正的入射角不是90度(直角a),而是5.7度(锐角b)。
入射角,摩擦
图5 动态与静态入射角


    有人会说,球向右飞,拍面横立,入射角明明是90度直角a,怎么又不对了呢?仔细想想就会明白,角a只是用静止的眼光定义的入射角,它的成立是以球拍静止不动为前提条件的。所以可称之为“表观入射角”,或称为“静态入射角”。打球的时候,哪有静止不动的球拍呢?本例中,球拍速度超过球速9倍!如果全面考虑球与拍两者的相对运动状态,你就不得不承认,真正的入射角就是角b,所以称之为“真实入射角”,也可称之为 “动态入射角”。下文所有提到的入射角都是指真实入射角。

    我们这里的入射角可定义为球触拍前瞬间(比如1毫秒)对球拍的真实相对位移的方向与拍面的夹角。这个真实相对位移由球、拍两者的运动方向、速度、拍型角度等因素共同决定。参看图2,可以看出真实入射角可以用平行四边形法,由球速和拍速的反向速度直接合成。真实入射角与摩擦过程的全部复杂性无关,因为它是描述球与球拍接触前瞬间状态的术语。换言之,估算入射角时整个摩擦过程尚未开始。

    值得一提的是,每支球拍都有一个固定的临界入射角(有文献称之为击球摩擦角)。顾名思义,当入射角大于等于此角度时可以正常击球;入射角小于此角度的来球会在拍面上打滑,无法正常击球。原因是入射角太小的来球不能对拍面形成足够的法向正压力来形成正常摩擦。对于反胶球拍,临界入射角在5度左右;正胶球拍在17度上下。一般认为球拍表面是各向同性的,所以临界入射角是一个三维空间角,其几何形状为顶点在平置球拍胶皮表面上的一个倒置的圆锥侧面。

    (未完待续)



    补充内容 (2018-1-30 03:11 PM):
    本文首句宜改为:“一般而言,乒乓球在空气中的平动可简化表示为一个质点运动,......”
    谢谢!
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发表于 2018-1-12 22:01:32 | 显示全部楼层
学术论文,比较专业。
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发表于 2018-1-12 22:11:45 | 显示全部楼层
乒乓球专业博士级别写的文章,点赞!
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发表于 2018-1-12 23:52:02 | 显示全部楼层
太高深了 请问有些套胶也标有入射角 指的是什么意思?
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发表于 2018-1-13 10:13:36 | 显示全部楼层
击球中球拍与乒乓球有两者间瞬间接触角度大小面不同的区别,在一般情况下击球、简单说就是:
球拍与乒乓球在击球时形成正90度的关系:则打击成分最大,摩擦成分最小;
球拍与乒乓球在击球时形成小于90度的关系:则打击随着角度的减小而打击力度下降成,摩擦力随着球拍与乒乓球在击球时形成小于90度角度的依次减小而逐渐加大、45度时最大。小于45度后摩擦力依次减小,形成的角度为0度时无摩擦力。
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发表于 2018-1-15 14:55:32 | 显示全部楼层



直接积分从0到H,已经可以得到上面的结果。
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  • 云南十八湾牛大爷都是
    2018-1-15 03:15 PM 回复
  • 十年砍柴这个可能是球带面积?
    2018-1-15 07:24 PM 回复
  • kwong回复 十年砍柴 :看不懂也没关系,反正都不是重点。
    2018-1-15 07:28 PM 回复
  • 十年砍柴回复 kwong :上图是定积分推导球冠面积公式,下图是简单用圆周长乘以宽度得到球带面积公式,并未运用定积分。再者,球冠与球带是两种不同的几何体,虽然都是球面积的一部分,但位置截然不同,不能混为一谈 。虽然二者公式相似,但形同实异,此h非彼h,此S非彼S。然否?谢谢指教。
    2018-1-16 09:50 AM 回复
  • kwong回复 十年砍柴 : 回去问老师吧,这只是基础的微积分。
    2018-1-16 10:33 AM 回复
嘘寒问暖不如打笔巨款
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2 
发表于 2018-1-15 16:35:27 | 显示全部楼层
马龙,樊振东他们表示不懂
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发表于 2018-4-21 18:15:12 | 显示全部楼层
太复杂了,不好理解。
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发表于 2018-4-21 20:47:53 | 显示全部楼层
这个理解起来太难了
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发表于 2018-4-22 22:24:42 | 显示全部楼层
哈哈 这些论证的理论 都是人们根据学习到的力学等学科的理论推导出来的  作为人们论证人体球拍触球瞬间的 球拍与球的关系  可是不要忘记 打球 不是球拍与球的关系 是人在打球  球和拍 是人在用 触球瞬间 是人的感触的因果  只有人知道这个样感触 任何论证 都是猜想
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